一、时间复杂度

1.时间复杂度的概念时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

代码语言：javascript复制void Func1(int N)

{

int count = 0;

for (int i = 0; i < N; ++i)

{

for (int j = 0; j < N; ++j)

{

++count;

}

}

for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)

{

++count;

}

int M = 10;

while (M--)

{

++count;

}

printf("%d\n", count);

}实际中我们计算 时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.大O的渐进表示法大O符号（Big O notation)：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐近表达法以后，Func1的时间复杂度为：

O(N^2）

N=10 F（N)=100

N=100 F（N)=10000

N=1000 F（N)=1000000

通过上面我们会发现大O的渐近表达法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表达出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大执行次数（上界）

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

①最好情况：1次找到 ②最坏情况：N次找到 ③平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为D(N）。

1^2^2.....^2=N

假设循环走x次，就是x个2相乘，即2^x=N x=log N

时间复杂度：O(logN)

因为写的时候需要支持专业公式，否则不好写底数

时间复杂度中，为了方便，log N直接省略底数2

其它底数不能省略（其它底数也很少出现）

3.常见时间复杂度计算举例1.计算Func2的时间复杂度？

代码语言：javascript复制void Func2(int N)

{

int count = 0;

for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)

{

++count;

}

int M = 10;

while (M--)

{

++count;

}

printf("%d\n", count);

}基本操作执行了2N+10次，（注：把系数去掉，当N足够大时，系数对结果影响就不大了）所以时间复杂度为O(N)

2.计算Func3的时间复杂度？

代码语言：javascript复制void Func3(int N, int M)

{

int count = 0;

for (int k = 0; k < M; ++k)

{

++count;

}

for (int k = 0; k < N; ++k)

{

++count;

}

printf("%d\n", count);

}基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为O(M+N)或O(max(M,N))

如果：M远大于N,O(M)

如果：N远大于M,O(N)

3.计算Func4的时间复杂度？

代码语言：javascript复制void Func4(int N)

{

int count = 0;

for (int k = 0; k < 100; ++ k)

{

++count;

}

printf("%d\n", count);

} 基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

O(1)不是代表1次，代表常数次

4.计算strchr的时间复杂度？

代码语言：javascript复制const char * strchr ( const char * str, int character );基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

5.计算BubbleSort的时间复杂度？

代码语言：javascript复制void BubbleSort(int* a, int n)

{

assert(a);

for (size_t end = n; end > 0; --end)

{

int exchange = 0;

for (size_t i = 1; i < end; ++i)

{

if (a[i-1] > a[i])

{

Swap(&a[i-1], &a[i]);

exchange = 1;

}

}

if (exchange == 0)

break;

}

}基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为O(N^2)

6.计算BinarySearch的时间复杂度？

代码语言：javascript复制int BinarySearch(int* a, int n, int x)

{

assert(a);

int begin = 0;

int end = n - 1;

while (begin <= end)

{

int mid = begin + ((end - begin) >> 1);

if (a[mid] < x)

begin = mid + 1;

else if (a[mid] > x)

end = mid - 1;

else

return mid;

}

return -1;

}基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)

logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N，有些地方会写成lgN。

二分查找什么情况最坏？查找区间只剩一个数，或者找不到

N/2/2.../2=1

查找了多少次就除了多少2，假设查找了x次，2^x=N x=log N

二分查找的缺点：外强中干，纸老虎，实际中不太实用

a.排序 b.数组结构(不方便插入删除)

7.计算阶乘递归Fac的时间复杂度？

代码语言：javascript复制long long Fac(size_t N)

{

if(0 == N)

return 1;

return Fac(N-1)*N;

}通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

递归时间复杂度：所有递归调用次数累加

8.计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？

代码语言：javascript复制long long Fib(size_t N)

{

if(N < 3)

return 1;

return Fib(N-1) + Fib(N-2);

} 通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

注：O(2^N)只有理论意义，实践中太慢了，N==50就要算好久了；解决：把递归改为非递归。

二、空间复杂度空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度计算规则基本和时间复杂度类似，也用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数运行时候申请的额外空间来确定。

1.计算BubbleSort的空间复杂度？

代码语言：javascript复制void BubbleSort(int* a, int n)

{

assert(a);

for (size_t end = n; end > 0; --end)

{

int exchange = 0;

for (size_t i = 1; i < end; ++i)

{

if (a[i - 1] > a[i])

{

Swap(&a[i - 1], &a[i]);

exchange = 1;

}

}

if (exchange == 0)

break;

}

}使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

2. 计算Fibonacci的空间复杂度？

代码语言：javascript复制// 返回斐波那契数列的前n项

long long* Fibonacci(size_t n)

{

if (n == 0)

return NULL;

long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));

fibArray[0] = 0;

fibArray[1] = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i)

{

fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];

}

return fibArray;

}动态开辟了N个空间，空间复杂度为O(N)

3.计算阶乘递归Fac的空间复杂度？

代码语言：javascript复制long long Fac(size_t N)

{

if(N == 0)

return 1;

return Fac(N-1)*N;

}递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间，空间复杂度为O(N)

三、常见复杂度常见的空间复杂度：O(1) O(N) O(N^2)

一般算法常见的复杂度如下：