共軛群作用
在群論中，共軛群作用是一種特殊的群作用。
目次
1 概念
2 中心
3 類方程
4 參見
5 參考資料
概念[]
設有一群
G
{\displaystyle G}
以及一個群作用
ρ
:
G
×
G
→
G
{\displaystyle \rho: G \times G \to G}
，滿足
ρ
(
g
,
a
)
=
g
a
g
−
1
.
{\displaystyle \rho(g, a) = g a g^{-1}.}
我們就稱
ρ
{\displaystyle \rho}
是
G
{\displaystyle G}
上的一個共軛作用。
這個作用下，群
G
{\displaystyle G}
中一個特定元素
a
∈
G
{\displaystyle a \in G}
的軌道應為
O
G
(
a
)
=
{
g
a
g
−
1
|
g
∈
G
}
{\displaystyle O_G(a) = \{ g a g^{-1} | g \in G \}}
群
G
{\displaystyle G}
作為集合是這些所有軌道的不交並，每個軌道
O
G
(
a
)
{\displaystyle O_G(a)}
中選取一個代表元
[
a
]
{\displaystyle [a]}
組成一個等價類，稱這樣的等價類為共軛類。
可以證明，
G
{\displaystyle G}
的正規子群是
G
{\displaystyle G}
的一些共軛類的不交並。
中心[]
假設同上，選擇一個元素
a
∈
G
{\displaystyle a \in G}
，以下集合是
a
{\displaystyle a}
在
G
{\displaystyle G}
上的穩定子群
C
G
(
a
)
=
C
(
a
)
:=
{
g
∈
G
|
g
a
g
−
1
=
a
}
=
{
g
∈
G
|
g
a
=
a
g
}
.
{\displaystyle C_G(a) = C(a) := \{ g \in G | g a g^{-1} = a \} = \{ g \in G | g a = a g \}.}
該共軛作用的不動點集
C
(
G
)
=
{
g
∈
G
|
g
a
g
−
1
=
a
,
∀
a
∈
G
}
=
{
g
∈
G
|
g
a
=
a
g
,
∀
a
∈
G
}
=
⋂
a
∈
G
C
(
a
)
{\displaystyle C(G) = \{ g \in G | g a g^{-1} = a, \forall a \in G \} = \{ g \in G | g a = a g, \forall a \in G \} = \bigcap_{a \in G} C(a)}
是
G
{\displaystyle G}
的中心。這是從共軛作用的角度考察群的中心。
類方程[]
設
G
{\displaystyle G}
是有限群，以下公式稱為類方程（class formula）：
|
G
|
=
|
C
(
G
)
|
+
∑
a
∈
A
[
G
:
C
G
(
a
)
]
,
{\displaystyle |G| = |C(G)| + \sum_{a \in A} [G: C_G(a)],}
其中
A
{\displaystyle A}
是非平凡軌道的共軛類。
參見[]
群的中心
群作用
軌道
共軛子群
正規化子群
參考資料Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.
群論（學科代碼：1102115，GB/T 13745—2009）
半群論
半群 ▪ 子半群 ▪ 商半群 ▪ Thierrin 定理 ▪ 半群的同態 ▪ Green 關係 ▪ 正則半群 ▪ 逆半群
群論
群 ▪ 群表 ▪ 群同態 ▪ 交換群 ▪ 自由群 ▪ 自由積 ▪ 群的表示 ▪ 平凡群 ▪ Klein 四元群 ▪ 子群和正規子群 ▪ 陪集和商群 ▪ 群同構定理 ▪ 群的直積 ▪ 群的正合列
群作用
群作用 ▪ 軌道 ▪ 群的中心 ▪ 共軛子群 ▪ 正規化子群 ▪ 共軛群作用 ▪ 群的半直積
有限群理論
置換和對稱群 ▪ 交代群 ▪ 循環群 ▪ 置換群 ▪ 二面體群 ▪ Lagrange 定理 ▪ p-群 ▪ pq-群 ▪ Cauchy 定理 ▪ Sylow 定理 ▪ 正規群列 ▪ 群的複合列 ▪ Zassenhaus 定理 ▪ Schreier 定理 ▪ Jordan-Hölder 定理 ▪ 單群 ▪ 導群 ▪ 冪零群 ▪ 可解群 ▪ 有限交換群 ▪ 有限生成的交換群
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